Ejercicio 2:  Integral indefinida. Técnica de Integración por partes

Resolver:

\(\int (1 + x^2) \cos x \, dx\)

Solución: Aplicando integración por partes:

\(\begin{align*}
u &= 1 + x^2 & dv &= \cos x \, dx \\
du &= 2x \, dx & v &= \sin x
\end{align*} \)

Por la fórmula de integración por partes:

\(\int u \, dv = uv – \int v \, du \) \(\begin{align*} \int (1 + x^2) \cos x \,dx &= (1 + x^2) \sin x – \int 2x \sin x \,dx \end{align*}\)

Ahora resolvemos:

\(\int 2x \sin x \,dx\)

Nuevamente, aplicamos integración por partes:

\(\begin{align*} u &= 2x, & dv &= \sin x \,dx \\ du &= 2 \,dx, & v &= -\cos x \end{align*}\) \(\begin{align*} \int 2x \sin x \,dx &= -2x \cos x + \int 2\cos x \,dx \\ &= -2x \cos x + 2 \sin x \end{align*}\)

Sustituyendo en la ecuación original:

\(\begin{align*} \int (1 + x^2) \cos x \,dx &= (1 + x^2) \sin x – (-2x \cos x + 2\sin x) \\ &= (1 + x^2) \sin x + 2x \cos x – 2\sin x + C \end{align*}\)

La solución final de la integral es:

\( \int (1 + x^2) \cos x \,dx = (1 + x^2) \sin x + 2x \cos x – 2\sin x + C \)

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