Integración por partes. Todo lo que debes saber acerca de esta técnica de integración para el cálculo de integrales indefinidas

La técnica de integración por partes es otro de los métodos usados frecuentemente en el cálculo de integrales indefinidas. Junto con la técnica de integración por sustitución o cambio de variable se considera, en algunas partes, los únicos dos métodos de integración, pero hoy en día, en diversas instituciones académicas se consideran más métodos que veremos más adelante.

Esta técnica surge a partir de lo que se conoce en calculo diferencial como la derivada de un producto de funciones. A partir de allí, llegaremos a la fórmula deseada.

Sea f(x) y g(x) diferenciables, tenemos que:

ddx[f(x)g(x)]=f(x)g(x)+f(x)g(x)

Luego, multiplicamos la igualdad por el diferencial de la variable independiente: dx

d[f(x)g(x)]=[f(x)g(x)+f(x)g(x)]dxd[f(x)g(x)]=f(x)g(x)dx+f(x)g(x)dx

Integrando a ambos lados tenemos:

d[f(x)g(x)]=f(x)g(x)dx+f(x)g(x)dx

Despejamos f(x)g(x)dx

f(x)g(x)dx=d[f(x)g(x)]f(x)g(x)dx

Siendo la derivada y la integración dos operaciones contrarias, nos queda lo siguiente:

f(x)g(x)dx=f(x)g(x)f(x)g(x)dx

Ahora bien, si hacemos

u=f(x)   dv=g(x)du=f(x)    v=g(x)

Nos quedaría la siguiente expresión:

udv=uvvdu, QED

Analizando la formula podemos ver que esta técnica nos será útil cuando tengamos productos de funciones. Pero nace la pregunta, ¿Qué tipo de funciones?

Aquí te mostrare algunos casos que se pueden presentar:

Caso I: P(x)eaxdx ;   u=P(x)      dv=eaxdx

Caso II: P(x)sen(ax)dx   u=P(x)      dv=sen(ax)dx 

Caso III: P(x)cos(ax)dx ;   u=P(x)      dv=cos(ax)dx

Caso IV: P(x)ln(ax)dx   u=ln(ax)   dv=P(x)dx

Caso V: sen(x)ebxdx   u=sen(x)   dv=ebxdx

Caso VI: cos(ax)ebxdx   u=cos(ax)  dv=ebxdx

Donde a  b son constantes  R

Pero estos no son todos los posibles casos que se pueden llevar a cabo por medio de la integración por partes. Existe una regla que encierra un gran número de casos, aunque no siempre es exitosa.

ILATE – Regla

Nos sirve para la escogencia adecuada del u y dv. Esta regla agrupa las 5 funciones elementales en 5 clases. Las ordena de forma descendente tomando como criterio la dificultad para hallar su antiderivada, de difícil a fácil.

Con esta simple regla ya podemos ampliar los casos que se pueden solucionar usando la técnica de integración por partes.

Por otro lado, en muchas ocasiones vamos a tener que usar la técnica varias veces. Por ejemplo:

Resuelva x3e6xdx

Solución

De acuerdo a ILATE,

f(x)=x3,función algebraica  g(x)=e6x,función  exponencial

u=x3    dv=e6xdx  du=3x2dx    v=16e6x

x3e6xdx=16x3e6x36x2er6xdx

x3e6xdx=16x3e6x12x2e6xdx(1)

Resolviendo x2e6xdx

\(u_{1}=x^{2} \ \ ∧  \ \ dv_{1}=e^{6x}dx \ \ du_{1}=2xdx \ \ ∧ \ \ dv_{1}=\frac{1}{6}e^{6x} \)

u1=x2dv1=e6xdxdu1=2xdxdv1=16e6x

xr2e6xdx=16x2e6x26xe6xdx

x2e6xdx=16x2e6x13xe6xdx(2)

Resolviendo xe6xdx

u2=xdv2=e6xdx  du2=dxv2=16e6x

xe6xdx=16xe6x16e6xdx

xe6xdx=16xe6x136e6x+c1(3)

Reemplazando (3) en (2)

x2e6xdx=16x2e6x13(16xe6x136e6x)+c2

x2e6xdx=16x2e6x118xe6x+1108e6x+c2(4)

Reemplazando (4) en (1)f

x3e6xdx=16x3e6x12(16x2e6x118xe6x+1108e6x)+C

x3e6xdx=16x3e6x112x2e6x+136xe6x1216e6x+C

Podemos sacar factor común 16e6x, ¡Inténtalo!

Pdta: Existen otros artificios para simplificar estos cálculos que en muchas ocasiones resultan ser laboriosos. Por ejemplo, integración tabular o derivar las dos funciones.

Finalmente, también nos encontraremos con integrales indefinidas llamadas cíclicas. El concepto de cíclico es sinónimo de repetido o bucle infinito. Básicamente, una integral cíclica es aquella que cuando estamos resolviéndola vuelve a aparecer en la solución. Por ejemplo:

Resuelva sen(x)exdx

Solución

u=sen(x)dv=exdx  du=cos(x)dxv=ex

sen(x)exdx=sen(x)excos(x)exdx(1)

Resolviendo cos(x)exdx

u1=cos(x)dv1=exdx  du1=sen(x)dxv1=ex

cos(x)exdx=cos(x)ex+sen(x)exdx(2)

Vemos que vuelve a aparecer la integral y esto se repite n veces.

Miremos, reemplazando (2) en (1)

sen(x)exdx=sen(x)ex(cos(x)ex+sen(x)exdx)

sen(x)exdx=sen(x)excos(x)exsen(x)exdx

Vemos que podemos despejar sen(x)exdx

sen(x)exdx+sen(x)exdx=sen(x)excos(x)ex

2sen(x)exdx=sen(x)excos(x)ex+C

sen(x)exdx=ex[sen(x)cos(x)]2+C

Recommended4 Me gustaPublicado en Ingeniería, Matemáticas

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