Las integrales impropias son un tipo de integrales en el que uno o ambos límites de integración tienden al infinito, o en las que el integrando tiene una asíntota dentro del intervalo de integración. 

Integrales impropias tipo I: Integrales con límites de integración infinitos

i) \(Si \ \ f \ \ es \ \ continua \ \ en \ \ ( \infty ,a] ,\ \ entonces \\ \int _{-\infty }^{a} f(x) dx=\lim _{t\rightarrow -\infty }\int _{t}^{a} f(x) dx,\ \ si \ \ el \ \ límite \ \ existe\)

ii) \(Si \ \ f \ \ es \ \ continua \ \ en \ \ ( \infty ,a] ,\ \ entonces \\ \int _{-\infty }^{a} f( x) dx=\lim _{t\rightarrow -\infty }\int _{t}^{a} f( x) dx, \ \ si \ \ el\ \ límite\ \ existe.\)

iii)\(Si\ f\ es\ continua\ en\ el\ intervalo\ ( -\infty ,\infty ) , entonces\\ \int _{-\infty }^{\infty } f( x) dx=\int _{-\infty }^{a} f( x) dx+\int _{a}^{\infty } f( x) dx =\lim _{t\rightarrow -\infty }\int _{t}^{a} f( x) dx+\lim _{t\rightarrow \infty }\int _{a}^{t} f( x) dx, \\ si \ \ ambos \ \ límites \ \ existen, \ \ donde \ \ a \int ( -\infty ,\infty ) .\) 

Si en cada caso los límites que intervienen existen, diremos que la integral impropia converge y el valor de la integral es el valor del límite calculado o la suma de los límites, de modo contrario, diremos que la integral es divergente.

Integrales impropias tipo II: Integrando discontinuos

i)\( Si \ \ f \ \ es \ \ continua \ \ en \ \ [ a,b) \ \ y \ \ discontinua \ \ en \ \ b \ \ ( tiene \ \ una \ \ asíntota \ \ vertical \ \ en \ \ x \ \ =b) ,\ \\ entonces \ \ \int _{a}^{b} f( x) dx=\lim _{t\rightarrow b^{-}}\int _{a}^{t} f( x) dx,\ si \ \ el \ \ límite \ \ existe. \)

ii)\(Si \ \ f \ \ es \ \  continua \ \ en \ \  ( a,b] \ \ y \ \ discontinua \ \  en \ \  a \ \ ( tiene \ \ una \ \ asíntota \ \ vertical \ \ en \ \ x=a) ,\\ entonces\ \int _{a}^{b} f( x) dx=\lim _{t\rightarrow a^{+}}\int _{t}^{b} f( x) dx, \ \ si \ \ el \ \ límite \ \ existe. \)

iii)\(Si \\ la \ \  función \ \ f \ \ es \ \ continua \ \ en \ \  el \ \  intervalo \ \  [ a,b] \ \  con \ \  excepción \ \  de \ \ x \ \  = \ \  c \ \ \in \ ( a,b) ,\\ \ y \ \ si \ \ en \ \ x=c \ \ la \ \ gráfica \ \ de \ \ f \ \ tiene \ \ una \ \ asíntota \ \ vertical \ \ entonces \ \ \\ \int _{a}^{b} f( x) dx=\int _{a}^{c} f( x) dx+\int _{c}^{b} f( x) dx=\lim _{t\rightarrow c^{-}}\int _{a}^{t} f( x) dx+\lim _{t\rightarrow c^{+}}\int _{t}^{b} f( x) dx \)

Una vez más, si en cada caso los límites que intervienen existen, diremos que la integral impropia converge y el valor de la integral es el valor del límite calculado o la suma de los límites, de modo contrario, diremos que la integral es divergente.

Ejemplo

Resuelve \(\int _{-\infty }^{\infty }\frac{dx}{x^{2} +2x+2}\)

Solución

Esta integral corresponde a las integrales impropias tipo I: Integrales con límites de integración infinitos. 

iii) \( Si \ \ f \ \ es \ \ una \ \ función \ \ continua \ \ en \ \ el \ \ intervalo \ \ R \ \ =\ ( -\infty ,\infty ) ,\\ entonces:\\ \int _{-\infty }^{\infty } f( x) dx=\int _{-\infty }^{a} f( x) dx+\int _{a}^{\infty } f( x) dx=\lim _{t\rightarrow -\infty }\int _{t}^{a} f( x) dx+\lim _{t\rightarrow \infty }\int _{a}^{t} f( x) dx \\ Si \ \ ambos \ \ límites \ \ existen, \ \ donde \ \ a \ \ es \ \ cualquier \ \ constante \ \ en \ \ R.\)

En virtud de esto y siendo \(a=0, \ \ \in \ \ R\), tenemos que:

\(\int _{-\infty }^{0}\frac{dx}{x^{2} +2x+2} +\int _{0}^{\infty }\frac{dx}{x^{2} +2x+2} =\lim _{t\rightarrow -\infty }\int _{t}^{0}\frac{dx}{x^{2} +2x+2} +\lim _{t\rightarrow \infty }\int _{0}^{t}\frac{dx}{x^{2} +2x+2}\)

Resolviendo \(\int \frac{dx}{x^{2} +2x+2}$\)

 Completación de cuadrados:

\(x^{2} +2x+2=0\rightarrow x^{2} +2x=-2\rightarrow \left( x^{2} +2x+1\right) =-2+1\\ ( x+1)^{2} =-1\rightarrow ( x+1)^{2} +1=0\)

¡Recuerda!

\(Producto \ \ notable:\ ( a\pm b)^{2} =a^{2} \pm 2ab+b^{2}\)

\(\int \frac{dx}{( x+1)^{2} +1}\)

Sustitución simple:

\(u=x+1\rightarrow du=dx\) \(\int \frac{du}{u^{2} +1} =tan^{-1}( u) +C\)

Volviendo a la variable original, tenemos:

\(\int \frac{dx}{( x+1)^{2} +1} =tan^{-1}( x+1) +C\)

Ahora bien,

\(\int _{-\infty }^{\infty }\frac{dx}{x^{2} +2x+2} =\lim _{t\rightarrow -\infty }\left[ tan^{-1}( x+1)\right]_{t}^{0} +\lim _{t\rightarrow \infty }\left[ tan^{-1}( x+1)\right]_{t}^{0}\)

¡Recuerda!

\(Teorema \ \ Fundamental \ \ del \ \ Cálculo \ \ – \ \ Parte \ \ 2\\ \int _{a}^{b} f( x) dx=F( x)]_{a}^{b} =F( b) -F( a)\)

\(\lim _{t\rightarrow -\infty }\left[ tan^{-1}( 0+1) -tan^{-1}( t+1)\right] +\lim _{t\rightarrow \infty }\left[ tan^{-1}( 0+1) -tan^{-1}( t+1)\right]\)

\(\lim _{t\rightarrow -\infty }\left[ tan^{-1}( 1) -tan^{-1}( t+1)\right] +\lim _{t\rightarrow \infty }\left[ tan^{-1}( 1) -tan^{-1}( t+1)\right]\)

\(\int _{-\infty }^{\infty }\frac{dx}{x^{2} +2x+2} =-\left( -\frac{\pi }{2}\right) +\frac{\pi }{2} =\frac{\pi }{2} +\frac{\pi }{2} =\frac{2\pi }{2}\)

\(\int _{-\infty }^{\infty }\frac{dx}{x^{2} +2x+2} =\pi\)

Los límites involucrados existen, por lo tanto, la integral impropia converge y el valor de la integral es \(\pi\)

Ahora es tú turno. Aquí hay un ejercicio resuelto parcialmente:

Calcule el valor de la integral \(\int _{1}^{\infty }( 1-x) e^{-x} dx\)

Solución

Esta integral corresponde a las integrales impropias tipo I: Integrales con límites de integración infinitos.

\(Si \ \ f \ \ es \ \ una \ \ función \ \ continua \ \ en \ \ [ a,\infty ) ,\ \ entonces:\\ \int _{a}^{\infty } f( x) dx=\lim _{t\rightarrow \infty }\int _{a}^{t} f( x) dx, \ \ si \ \ el \ \ límite \ \ existe.\\ \\ Donde \ \ a \ \ es \ \ cualquier \ \ constante \ \ en \ \ [ a,\infty )\)



Gracias por llegar hasta acá, espero que te haya gustado tanto como disfruto escribiendo. Nos vemos pronto. Has parte de la comunidad matemática más grande de la Unimagdalena y Santa Marta. Click aquí: https://www.facebook.com/integracadadia/

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