Demostrar que
\(\int \sqrt{a^{2} + u^{2}} \, du = \frac{u}{2} \sqrt{a^{2} + u^{2}} + \frac{a^{2}}{2} \ln\left( u + \sqrt{a^{2} + u^{2}} \right) + C\)Solución
Sustitución trigonométrica
\(u=a⋅tan𝜃 → u^{2}=a^{2}⋅tan^{2}𝜃 \ \ du=a(sec^{2}𝜃)d𝜃\)Reemplazando en la integral tenemos:
\(\int{}\sqrt{a^{2}+a^{2}⋅tan^{2}𝜃}⋅a⋅sec^{2}𝜃 \ d𝜃\)Sacamos factor común \(a^{2}\) del subradical:
\(\int{}\sqrt{a^{2}(1+tan^{2}𝜃)}⋅a⋅sec^{2}𝜃 \ d𝜃 \)\(Propiedad \ de \ los \ radicales: \sqrt{a⋅b}=\sqrt{a}\sqrt{b} \\\)
\(a\int{}\sqrt{a^{2}}\sqrt{1+tan^{2}𝜃}⋅sec^{2}𝜃 \ d𝜃 \)\(Identidad \ pitagórica \ 1 + tan^{2}𝜃=sec^{2}𝜃 \\\)
\(a^{2}\int{}\sqrt{sec^{2}𝜃}⋅sec^{2}𝜃 \ d𝜃 →a^{2}\int{}sec𝜃⋅sec^{2}𝜃 \ d𝜃 a^{2}\int{}sec^{3}𝜃 \ d𝜃 \\\)Resolviendo \(\int{}sec^{3}𝜃 \ d𝜃=\int{}sec𝜃⋅sec^{2}𝜃 \ d𝜃 \)
Integración por partes:
\(u=sec 𝜃 ∧ dv= sec^{2}𝜃 \ d𝜃 \ \ du=sec𝜃⋅tan𝜃 \ d𝜃 ∧ v= tan𝜃 \\\) \(\int{}sec^{3}𝜃 \ d𝜃= sec𝜃⋅tan𝜃-\int{}sec𝜃⋅tan^{2}𝜃 \ d𝜃 \\\)\(Identidad \ pitagórica: tan^{2}𝜃=sec^{2}𝜃-1 \\\)
\(\int{}sec^{3}𝜃 \ d𝜃= sec𝜃⋅tan𝜃-\int{}sec𝜃⋅(sec^{2}𝜃-1)d𝜃 \)\(Propiedad \ distributiva: a(b+c)=ab+ac \\\)
\(\int{}sec^{3}𝜃 \ d𝜃= sec𝜃⋅tan𝜃-\int{}sec^{3}𝜃 \ d𝜃+\int{}sec𝜃 \ d𝜃 \\\) \(\int{}sec^{3}𝜃 \ d𝜃+\int{}sec^{3}𝜃 \ d𝜃= sec𝜃⋅tan𝜃+\int{}sec𝜃 \ d𝜃 \\\) \(2\int{}sec^{3}𝜃 \ d𝜃= sec𝜃⋅tan𝜃+\int{}sec𝜃 \ d𝜃 (1) \)Resolviendo \(\int{}sec𝜃d𝜃\)
Multiplicamos por \(\frac{\sec\theta + \tan\theta}{\sec\theta + \tan\theta}\)
\(\int{}sec𝜃⋅\frac{sec𝜃+tan𝜃}{sec𝜃+tan𝜃} \ d𝜃→\int{}\frac{sec^{2}𝜃+sec𝜃⋅tan𝜃}{sec𝜃+tan𝜃}d𝜃 \\\)Empleamos un cambio de variable:
\(z=sec𝜃+tan𝜃→dz=(sec𝜃⋅tan𝜃+sec^{2}𝜃)d𝜃\)Luego, nos queda la integral en términos de \(z\):
\(\int{}\frac{dz}{z}=ln(z)+C \\\) \(\int{}sec𝜃d𝜃=ln(sec𝜃+tan𝜃)+C \\\)Reemplazando en \((1)\)
\(2\int{}sec^{3}𝜃d𝜃= sec𝜃⋅tan𝜃+ln(sec𝜃+tan𝜃)+C \\\)Multiplicamos por \(a^{2}\)
\(a^{2}\int{}sec^{3}𝜃d𝜃= \frac{a^{2}⋅sec𝜃⋅tan𝜃}{2}+\frac{a^{2}⋅ln(sec𝜃+tan𝜃)}{2}+C\)Triángulo rectángulo:
\( \begin{array}{c|c|c} \theta & \tan\theta = \frac{u}{a} & \sec\theta = \frac{\sqrt{a^2 + u^2}}{a} \\ \hline u & a & \sqrt{a^2 + u^2} \end{array} \\\) \(\int \sqrt{a^{2} + u^{2}} \, du = \frac{a^{2}}{2} \left( \frac{u}{a} \cdot \frac{\sqrt{a^{2} + u^{2}}}{a} \right) + \frac{a^{2}}{2} \ln \left( \frac{\sqrt{a^{2} + u^{2}}}{a} + \frac{u}{a} \right) + C \\\) \(\int \sqrt{a^{2} + u^{2}} \, du = \frac{a^{2}}{2} \left( \frac{u}{a} \cdot \frac{\sqrt{a^{2} + u^{2}}}{a} \right) + \frac{a^{2}}{2} \ln \left( \frac{\sqrt{a^{2} + u^{2}}}{a} + \frac{u}{a} \right) + C \\\) \(\int \sqrt{a^{2} + u^{2}} \, du = \frac{a^{2}}{2 a^{2}} \cdot u \sqrt{a^{2} + u^{2}} + \frac{a^{2}}{2} \ln \left( \frac{u + \sqrt{a^{2} + u^{2}}}{a} \right) + C \\\) \(\int \sqrt{a^{2} + u^{2}} \, du = \frac{u}{2} \sqrt{a^{2} + u^{2}} + \frac{a^{2}}{2} \ln \left( \frac{u + \sqrt{a^{2} + u^{2}}}{a} \right) + C \\\)\(Propiedad \ de \ los \ logaritmos: ln(\frac{m}{n})=ln(m)-ln(n) \\\)
\(\int \sqrt{a^{2} + u^{2}} \, du = \frac{u}{2} \sqrt{a^{2} + u^{2}} + \frac{a^{2}}{2} \ln (u + \sqrt{a^{2} + u^{2}}) – \frac{a^{2}}{2} \ln (a) + C \\\) \(\int \sqrt{a^{2} + u^{2}} \, du = \frac{u}{2} \sqrt{a^{2} + u^{2}} + \frac{a^{2}}{2} \ln (u + \sqrt{a^{2} + u^{2}}) + C \ \ \text{∴ QED} \\ \\\)Te recomiendo que nos sigas en @integracadadia y te animo a que sigas practicando. ¡Nos vemos en moni! 🙂
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