¿Qué significa aprender matemáticas? ¿Es suficiente que un estudiante conozca definiciones, recuerde fórmulas y ejecute correctamente los procedimientos enseñados? ¿O aprender matemáticas implica desarrollar formas de pensar que le permitan explorar situaciones, identificar relaciones, formular conjeturas, construir argumentos, generalizar resultados y validar sus propias conclusiones?
Estas preguntas nos sitúan ante uno de los desafíos más grandes que enfrenta la Educación Matemática: crear condiciones para que los estudiantes no solo aprendan contenidos matemáticos, sino que desarrollen modos de pensamiento propios y autonomía en la actividad matemática. Abordar este desafío exige prestar especial atención a un componente de la enseñanza que, aunque a menudo parece cotidiano, tiene profundas implicaciones didácticas: el diseño de las tareas matemáticas.
Las tareas constituyen uno de los principales medios a través de los cuales los estudiantes entran en contacto con los objetos, las relaciones y las formas de razonamiento de las matemáticas. Sin embargo, no todas las tareas ofrecen las mismas oportunidades de aprendizaje. Algunas conducen principalmente a recordar información o reproducir procedimientos previamente explicados; otras requieren interpretar condiciones, tomar decisiones, explorar alternativas, establecer relaciones y justificar afirmaciones. Aunque ambas pueden tener un lugar en la enseñanza, sus exigencias cognitivas y las oportunidades de pensamiento que generan son diferentes.
Esta distinción ha sido estudiada por diversos investigadores. Breen y O’Shea (2010) señalan que el pensamiento matemático comprende procesos como la formulación de conjeturas, el razonamiento y la demostración, la abstracción y la generalización. Al examinar el diseño de tareas, estos autores advierten que muchas actividades propuestas a los estudiantes privilegian habilidades de menor exigencia, como la memorización y la aplicación rutinaria de algoritmos. En un trabajo posterior, Breen y O’Shea (2018) destacan tipos de tareas que pueden favorecer hábitos de pensamiento matemático, entre ellos generar ejemplos, analizar razonamientos, evaluar afirmaciones matemáticas, formular conjeturas, generalizar, visualizar y utilizar definiciones. Sus aportes invitan a examinar no solamente qué contenidos se enseñan, sino también qué actividad intelectual se espera que los estudiantes desarrollen al trabajar con ellos.
Desde esta perspectiva, diseñar una tarea matemática no consiste simplemente en seleccionar un contenido y redactar un enunciado. Supone tomar decisiones acerca de los propósitos de aprendizaje, las relaciones matemáticas que se desea movilizar, las estrategias que podrían utilizar los estudiantes, las representaciones que necesitarán coordinar y las formas de razonamiento que se espera promover. También implica anticipar posibles dificultades, identificar distintas vías de solución y determinar qué preguntas e intervenciones docentes podrían contribuir a profundizar el pensamiento de los estudiantes.
Esta preocupación resulta especialmente importante cuando se considera la relación entre las características de una tarea y la actividad que efectivamente desarrollan quienes la resuelven. Stein, Grover y Henningsen (1996), así como Stein, Smith, Henningsen y Silver (2000), estudiaron la relación entre la demanda cognitiva de las tareas matemáticas y su implementación en el aula. Sus investigaciones muestran la importancia de atender tanto a las exigencias intelectuales previstas en el diseño como a las condiciones bajo las cuales se desarrolla la actividad matemática. Una tarea que inicialmente requiere explorar, establecer conexiones y argumentar puede terminar reducida a la aplicación de un procedimiento si las orientaciones docentes conducen a los estudiantes hacia una solución prescrita. Por el contrario, una intervención que solicita explicaciones, compara estrategias y examina las razones que sustentan una conclusión puede contribuir a mantener y profundizar el trabajo intelectual.
Ahora bien, reconocer la importancia de las tareas no significa atribuirles, de manera aislada, la responsabilidad del aprendizaje. El pensamiento matemático se desarrolla en la interacción entre las características de la actividad propuesta, los conocimientos y las experiencias de los estudiantes, las formas de participación que se favorecen y las intervenciones del docente. Sullivan, Clarke y Clarke (2013), al estudiar la enseñanza mediante el planteamiento de problemas matemáticos, destacan la importancia de la selección de tareas y de las acciones docentes que permiten convertirlas en oportunidades de aprendizaje. De ahí que el diseño no pueda separarse de la anticipación de las posibles estrategias de los estudiantes ni de la planificación de las preguntas que permitirán examinar, comparar y ampliar sus razonamientos.
¿Qué características debería tener, entonces, una tarea orientada a promover el pensamiento matemático? En primer lugar, debe responder a una intención matemática clara: no basta con que una actividad sea entretenida, contextualizada o novedosa; es necesario identificar qué relaciones, conceptos y formas de razonamiento se espera que los estudiantes construyan o movilicen. En segundo lugar, debe proponer una actividad intelectual que vaya más allá de la reproducción inmediata de un modelo, ofreciendo oportunidades para explorar casos, tomar decisiones, establecer conexiones y justificar conclusiones. En tercer lugar, debe admitir y hacer visibles diferentes estrategias y representaciones cuando estas sean matemáticamente pertinentes. En cuarto lugar, debe favorecer la formulación de preguntas, conjeturas y argumentos, así como la revisión de las ideas a partir de los resultados obtenidos. Finalmente, debe contemplar una secuencia de trabajo y unas formas de intervención docente coherentes con el pensamiento que se pretende promover.
Estas características no constituyen una lista rígida ni implican que toda tarea deba incorporar simultáneamente todos los procesos matemáticos. Su pertinencia depende del propósito de aprendizaje, del conocimiento involucrado y del nivel de desarrollo de los estudiantes. Una actividad breve de cálculo puede ser necesaria para consolidar una técnica; el desafío consiste en que la enseñanza no quede restringida a ese tipo de actividad y que, cuando resulte pertinente, el procedimiento se conecte con la comprensión, el razonamiento, la resolución de problemas y la generalización.
Este blog parte de esa convicción: las tareas matemáticas no son elementos accesorios de la enseñanza, sino decisiones didácticas que contribuyen a configurar la actividad intelectual de los estudiantes. Analizar sus características, comprender sus exigencias cognitivas y estudiar las condiciones que permiten desarrollar su potencial constituye un paso fundamental para avanzar hacia una enseñanza en la que aprender matemáticas signifique, cada vez más, comprender, investigar, razonar y construir conocimiento matemático.
¿Resolver un problema o decidir qué problema resolver?
Al diseñar una tarea matemática, no solo importa el contenido que se aborda o el razonamiento que se espera promover. También es necesario considerar qué decisiones quedan en manos del estudiante y cuáles han sido tomadas previamente por quien diseña la actividad. Esta cuestión permite examinar diferentes formas de plantear una misma situación y comprender cómo las decisiones de diseño pueden ampliar o restringir las oportunidades para pensar matemáticamente.
Consideremos una situación relacionada con la construcción de un terreno cercado con 48 metros de valla. Podemos plantearla de distintas maneras.
Primera formulación
«Con 48 metros de valla, ¿Cuál es el área de un terreno rectangular si uno de sus lados mide 10 metros?»
En este caso, el estudiante debe determinar las dimensiones que faltan y calcular el área. La figura, la longitud total de la valla y una de las dimensiones ya están establecidas. Aunque la tarea requiere utilizar conocimientos sobre perímetro y área, las decisiones que debe tomar el estudiante son limitadas, pues el planteamiento delimita tanto la situación como el procedimiento matemático que probablemente utilizará.
Segunda formulación
«Con 48 metros de valla, ¿Cuáles deben ser las dimensiones de un terreno rectangular para que su área sea máxima?»
Esta formulación plantea un problema que exige mayor exploración. El estudiante debe establecer relaciones entre las dimensiones del rectángulo, el perímetro y el área; examinar distintas posibilidades y justificar por qué una configuración produce una superficie mayor que las demás. En comparación con la primera formulación, se amplían las decisiones relacionadas con la estrategia de solución y la argumentación. Sin embargo, hay algo que permanece establecido de antemano: el estudiante sabe que debe construir un rectángulo y que su propósito es maximizar el área. Quien diseñó la tarea ya determinó la figura que se estudiará, la condición que debe respetarse y el criterio con el que se evaluará la solución.
Tercera formulación
«Te entregamos 48 metros de valla. Describe y fundamenta qué harías con ella.»
Aquí cambia la naturaleza de la actividad. No se especifica qué figura construir, qué superficie delimitar ni qué criterio utilizar para valorar la propuesta. El estudiante debe interpretar la situación, identificar posibilidades, establecer un propósito y tomar decisiones que orienten su trabajo matemático.
Podría proponer la construcción de un terreno rectangular, explorar otras formas de delimitar una superficie o plantear una distribución de espacios con diferentes propósitos. Cada alternativa conduce a preguntas y relaciones matemáticas distintas. Si decide construir un terreno rectangular, por ejemplo, puede preguntarse cómo distribuir la longitud de la valla para obtener una superficie determinada o cómo conseguir que el área sea máxima.
En esta última formulación, el problema de maximización no desaparece: puede surgir como resultado de las decisiones y preguntas que el propio estudiante plantea.
El papel de las preguntas orientadoras
Una tarea abierta como esta no implica que el docente deba permanecer al margen ni que el estudiante tenga que descubrir, sin ayuda, todas las relaciones matemáticas involucradas. La intervención docente sigue siendo necesaria, pero su función cambia: en lugar de anticipar el problema y el procedimiento, puede formular preguntas que ayuden a examinar las posibilidades y desarrollar las ideas.
Por ejemplo:
- – ¿Qué podrías construir con los 48 metros de valla?
- – ¿Qué condiciones debería cumplir tu propuesta?
- – ¿Cómo podrías representar las alternativas que estás considerando?
- – ¿Qué criterios utilizarías para comparar las propuestas?
- – ¿Qué relaciones matemáticas necesitas establecer para fundamentar tu decisión?
- – ¿Cómo podrías comprobar que tu propuesta cumple las condiciones planteadas?
- – ¿Qué cambiaría si tu propósito fuera obtener la mayor superficie posible?
Estas preguntas no tienen que formularse todas ni seguir un orden fijo. Su pertinencia depende de las decisiones del estudiante, de las ideas que vaya desarrollando y de las necesidades que surjan durante la actividad. El propósito es acompañar el razonamiento sin sustituir las decisiones que el estudiante puede tomar por sí mismo.
La apertura de una tarea y las decisiones matemáticas
La comparación de las tres formulaciones permite distinguir dos aspectos del diseño de tareas que conviene considerar.
El primero es la «demanda cognitiva» los procesos de pensamiento que requiere la actividad, como establecer relaciones, explorar casos, formular conjeturas, seleccionar estrategias y justificar conclusiones.
El segundo es el «espacio de decisión del estudiante»: los aspectos de la situación que puede determinar, desde la elección de una estrategia hasta la formulación del problema, el establecimiento de condiciones y la selección de criterios para comparar las posibles soluciones.
Ambos aspectos se relacionan, pero no son equivalentes. Una tarea puede exigir razonamiento complejo y, al mismo tiempo, dejar pocas decisiones en manos del estudiante. También puede permitir numerosas elecciones sin que estas conduzcan necesariamente a una actividad matemática que favorezca la construcción de conocimientos.
Por ello, ampliar el espacio de decisión no consiste simplemente en formular preguntas generales o eliminar las condiciones de un problema. Se trata de diseñar situaciones en las que las decisiones del estudiante tengan consecuencias sobre la actividad matemática que desarrolla y en las que sea necesario justificar las elecciones realizadas.
Esto tampoco significa que todas las tareas deban ser abiertas. Las actividades delimitadas permiten aprender conceptos, desarrollar técnicas y consolidar procedimientos. La cuestión didáctica consiste en articular diferentes tipos de tareas según los propósitos de aprendizaje y las oportunidades de pensamiento que se desea generar.
«Diseñar tareas para promover el pensamiento matemático supone decidir no solo qué conocimientos y procesos se espera movilizar, sino también qué decisiones pueden asumir los estudiantes durante la actividad». En determinadas situaciones, el objetivo será resolver un problema bien definido; en otras, será explorar una situación, formular preguntas, establecer condiciones y construir un problema que merezca ser investigado matemáticamente.
Desde esta perspectiva, el diseño de tareas puede contribuir a que los estudiantes no se limiten a responder preguntas formuladas por otros, sino que desarrollen la capacidad de plantear sus propias preguntas, establecer relaciones matemáticas y fundamentar sus decisiones.
Un reto para nuestros lectores
Se quiere organizar un torneo de ajedrez en el que cada participante juegue una partida contra cada uno de los demás participantes. No habrá partidas repetidas y cada pareja de jugadores se enfrentará una sola vez.
¿Cómo convertirías esta situación en una tarea que promueva el desarrollo del pensamiento matemático?
Te invitamos a compartir tus decisiones
- Propósito: ¿Qué esperas promover en tus estudiantes a partir de esta situación? ¿Qué aspectos del pensamiento matemático te interesa desarrollar?
- Preguntas: ¿Qué preguntas formularías para iniciar la exploración y cuáles plantearías para profundizar en el razonamiento de los estudiantes?
- Autonomía: ¿Qué información proporcionarías desde el comienzo y qué decisiones dejarías en manos de los estudiantes?
- Estrategias: ¿Qué procedimientos, representaciones o formas de razonamiento anticipas que podrían utilizar?
- Intervención docente: ¿Qué preguntas formularías si un estudiante se limita a contar las partidas una por una? ¿Y si propone una regla general, pero no logra justificarla?
- Evaluación: ¿Qué evidencias observarías para determinar si los estudiantes están desarrollando el pensamiento matemático que te propusiste promover?
Declaración de uso de la IA
Para la elaboración de este blog se utilizaron herramientas de inteligencia artificial como apoyo en la organización de ideas, la revisión de la redacción y la preparación de algunos recursos visuales. Su uso no sustituye el criterio académico ni la responsabilidad del autor sobre los planteamientos, las interpretaciones y los contenidos publicados. Las ideas y reflexiones presentadas responden a la perspectiva del autor, quien asume la responsabilidad por su rigor, coherencia y pertinencia en el campo de la Educación Matemática.
Referentes
- Stein, M. K., Grover, B. W., y Henningsen, M. (1996). Building student capacity for mathematical thinking and reasoning: An analysis of mathematical tasks used in reform classrooms. American Educational Research Journal, 33(2), 455–488. https://doi.org/10.3102/00028312033002455
- Stein, M. K., Smith, M. S., Henningsen, M. A., y Silver, E. A. (2000). Implementing standards-based mathematics instruction: A casebook for professional development. Teachers College Press.
- Breen, S., y O’Shea, A. (2010). Mathematical thinking and task design. Irish Mathematical Society Bulletin, 66, 39–49. https://doi.org/10.33232/BIMS.0066.39.49
- Lithner, J. (2017). Principles for designing mathematical tasks that enhance imitative and creative reasoning. ZDM—Mathematics Education, 49, 937–949. https://doi.org/10.1007/s11858-017-0867-3
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